紹介
高校では数学でいろいろ勉強したと思います。私は、エンジニアだったので習った数学は仕事でバンバン使いましたが、多くの社会人は、あれっていったい何だったの?と思っていると思います。今、高校で勉強している人も、何に役立つの?と思っていると思います。その代表格にサイン、コサイン、タンジェントという三角関数があると思います。現に私の高校時代でも、サイン、コサイン、何になる、人生の本質に関係ないじゃない、と言う友達はいました。
私は通信系のエンジニアでしたので、三角関数は仕事に役立ちました。それを応用して世の中に役にたつ製品を出してきたと思います。またそれで生活をしてきました。
でも、高校時代、三角関数を習得するのには、苦労したことは確かです。
ここから始まる記事は、メーカに勤めた事があり、数学を実際に使ったことのある冴子先生が、三角関数をイメージ的にわかりやすく説明してくれます。これを機会に、皆さんには、三角関数をもっと身近に感じてもらったり、あるいは、非常に興味を持ち、エンジニアになり、実際に使ってもらえるようになれば幸いです。
第1話 サインとは
![高校数学をイメージでわかるように説明した漫画 三角関数編の始まり](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_001-4.jpg)
![三角関数のグラフ、サインsin、コサインcos、タンジェントtan](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_002-8.jpg)
![音叉の音はサイン波](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_003-8.jpg)
![音叉の音はサイン波、オシロスコープで見れる、強く叩けば波形は大きくなる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_004-7.jpg)
![音叉の音はサイン波、オシロスコープで見れる、周波数が高い音は波形の繰り返しが激しくなる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_005-7.jpg)
![440Hzの音叉は1秒間に440個の繰り返し、だから1つの波にかかる時間は2.27ms](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_006-7.jpg)
![88鍵のピアノで言えば、440Hzは真ん中辺のラ、波形は音叉と違い、いろいろな波形の混ざっているもの、楽譜ではここ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_007-5.jpg)
![4096Hzの音叉は1秒間に4096個の繰り返し、だから1つの波は0.244ms](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_008-5.jpg)
![88鍵のピアノで言えば、4096Hzに最も近いのは一番右端、楽譜で言うとこんな上](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_009-5.jpg)
![家庭のコンセントにはAC100Vと言う交流がきている](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_010-5.jpg)
![東日本は50Hzで1秒間に50回の繰り返し。
西日本は60Hzで1秒間に60回の繰り返し。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_011-5.jpg)
![AC100 Vと言うが最大電圧は±140Vに達する。それは抵抗にDC100Vを流した時と消費電力が同じだから。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_012-5.jpg)
![振り子を手を離した後の振る舞い](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_013-5.jpg)
![振り子の振る舞いをプロットしていくとサインカーブになる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_014-6.jpg)
![振り子の振る舞いをプロットしていくとサインカーブになる。ただし振れ幅が小さいときだけ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_015-5.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_016-3.jpg)
![型紙というのは、それに沿って布地を切って、縫い合わせると、立体的な服ができるもの。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_017-3.jpg)
![袖は言わば円柱で、それが斜めに胴体の布地に縫い合わされるので、円柱を斜めに切った形になる。それを展開すると、切り口はサインのグラフになる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_018-3.jpg)
![世の中のいろいろな繰り返しの波形はサインの組み合わせになる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_019-4.jpg)
![サイン、コサイン、タンジェントのグラフ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_020-5.jpg)
![三角形でサイン、コサイン、タンジェントの定義を見てみる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_021-6.jpg)
![三角形でtanθ=sinθ/cosθの証明、sin^2+cos^2=1](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_022-3.jpg)
![三平方の定理の証明](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_023-4.jpg)
![測量。遠くにあるAB間の距離を近くの測定値から計算で求まる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_024-4.jpg)
![昔の測量のテキストで遠くにある甲乙間の距離を近くの測定値から計算で求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_025-3.jpg)
![昔の測量の本には三角関数の値の表がついている。タンジェントは正接。昔は切正と書いた。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_026-3.jpg)
![昔の測量のテキスト、余接の値](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_027-3.jpg)
![昔の測量のテキスト、余接の値](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_028-4.jpg)
![昔の測量のテキスト、量地必携は嘉永三年の本でペリーが来る3年前、大政奉還の17年前](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_029-3.jpg)
第2話 ラジアンとは
![三角形での三角関数だと、角度は90度は超えないし、負の値も取れない。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_001-6.jpg)
![半径rの円でsinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/xと定義して、三角形での三角関数の定義を脱出する](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_002-11.jpg)
![半径rの円でsinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/xと定義しすれば、sinθは正の値も負の値も取れて、グラフは波の形を表せる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_003-10.jpg)
![](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_004-9.jpg)
![三角関数。ラジアンの定義。半径rの円で円弧の長さがちょうどrになるような角度が1ラジアン。度で言うと、約57.3度。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_005-9.jpg)
![度とラジアンの換算。円一周の360度は2πラジアン。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_006-10.jpg)
![360度は2πラジアンから、270度は3π/2ラジアン、180度はπラジアン、90度はπ/2ラジアン。
さらに良く使う角度として、180度はπラジアンだから、60度はπ/3ラジアン、45度はπ/4ラジアン、30度はπ/6ラジアン。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_007-7.jpg)
![450度は5π/2ラジアン、540度は3πラジアン、630度は7π/2ラジアン、2周した720度は4πラジアン。
-90度は-π/2ラジアン、-180度は-πラジアン、-270度は-3π/2ラジアン、1周したところで-360度は-2πラジアン。
-30度は-π/6ラジアン、-45度は-π/4ラジアン、-60度は-π/3ラジアン。
角度が度表示のサインのグラフとラジアン表示のサインのグラフ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/07/高校数学三角関数_008-7.jpg)
![関数電卓では、角度の単位は度とラジアンがある。
エクセルについている関数sinの単位はラジアン
"](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_009-1.jpg)
![角度θが小さいと、ラジアン表示の時、θの値とsinθの値はほぼ等しい。
グラフで書くと、θが0付近でy=sinθとy=θのグラフはほとんど一致。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_010-1.jpg)
![角度θが小さい時、sinθとθがほぼ同じと言うのは、振り子の運動方程式を解くときに役立つ。それは角度がラジアン表示の時。
度表示だと、sinθとθの値は全然違う。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_011-1.jpg)
![グラフ的に言うと微分は傾き、積分は面積。走っている車で言うと、速度を微分すると加速度、積分すると走ってきた距離](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_012-1.jpg)
![角度の単位がラジアンの時は、sinθを微分すると、cosθ、積分すると、-cosθ+C。すっきりした感じ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_013-1.jpg)
![角度の単位が度の時は、sinθを微分すると、(2π/360)cosθ、積分すると、-(360/2π)cosθ。ラジアンに比べややこしい形になる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_014-1.jpg)
![sinθを微分するとcosθになるイメージをつかむ。グラフで言うと、微分は傾き。y=sinθのグラフのてっぺんと一番下は傾きはゼロ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_015-1.jpg)
![y=0付近では、y=sinθとy=θのグラフは重なる。だからy=sinθのθ=0での傾きはy=θの傾きと同じ、つまり1](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_016-1.jpg)
![y=sinθのグラフで、y=0の時の傾きは1。グラフは2π毎に繰り返しだから、θ=2πのところの傾きも1。
y=sinθのグラフは、θ=π/2や-π/2で対称だから、y=πや-πでの傾きは-1](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_017-1.jpg)
![y=sinθのグラフは、θ=-π、-π/2、0、π/2、π、3π/2、2πで、気傾きはそれぞれ-1、0、1、0、-1、0、1。
これをプロットすると、y=cosθのグラフと重なる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_018-1.jpg)
![そもそも360度というのは、バビロニア人が昔、1年を360日にしたから、という説がある。でも1年365日だし、ラジアンにも慣れよう。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_019-2.jpg)
![例えば、宇宙船が円運動をする](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_020-1.jpg)
![ゲームをプログラムする言語にUnityというのがある。そこではサイン、コサインは、Mathf.Sin(θ)、Mathf.Cos(θ)。そして角度θの単位はラジアン。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/高校数学三角関数_021-1.jpg)
第3話 サイン、コサイン、タンジェントのグラフ
![半径r の円で、y=r sinθだったのを、半径r=1とすると、y=sinθ、つまり、斜辺の高さそのものがsinθの値になる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_001-2.jpg)
![半径1の円に角度0とπ/2を記す。その間を5等分する。一方、y=sinθを書きこむグラフの方もθ=0からπ/2までを5等分する。そして5等分した角度ごとに単位円の斜辺の高さをグラフの方に移して行くと、y=sinθのグラフができる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_002-1.jpg)
![半径1の円で、θ=0、π/6、π/4、π/3、π/2での斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。Π/2を超えた後も、π/6、π/4、π/3を足す。そこでの高さ、つまりsin θは、今まで見てきたπ/3、π/4、π/6と等しい](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_003-1.jpg)
![θ=0、π/6、π/4、π/3、π/2、2π/3、3π/4、5π/6、πの斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。そうするとθ=0からπまでのy=sinθのグラフになる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_004-1.jpg)
![半径1の円で、θ=7π/6、5π/4、4π/3、3π/2での斜辺のy座標の値をグラフにプロットする。その後、θ=5π/3、7π/4、11π/6、2πをプロットするが、その高さは同じ。1周回って、2πを超えて、2π+π/6、2π+π/4、2π+π/3、2π+π/2、…で同様な事をして行く。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_005-1.jpg)
![半径1の円で、θ=-π/6、-π/4、-π/3、-π/2、…,で、斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。
今までを合わせると、θが負から、2πを超えるまでのy=sinθのグラフが書ける。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_006-3.jpg)
![sin(π/6)=1/2、
cos(π/6)=√3/2、tan(π/6)=1/√3
になる理由](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_007-2.jpg)
![sin(π/4)=1/√2、
cos(π/4)=1/√2、
tan(π/4)=1
になる理由](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_008-1.jpg)
![sin(π/3)=√3/2、
cos(π/3)=1/2、
tan(π/3)=√3
になる理由](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_009-1.jpg)
![半径1の円で、斜辺の高さをグラフにプロットするとy=sinθのグラフができた。斜辺の底辺をプロットしていくと、y=cosθのグラフになる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_010-1.jpg)
![半径1の円で、θ=0~2πまでの斜辺の底辺、つまりcosθをグラフにプロットする。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_011-1.jpg)
![半径1の円で、θ=2πを超えて斜辺の底辺、つまりcosθをグラフにプロットする。θが負でも同じことをする。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_012.jpg)
![y=cosθのグラフとy=sinθのグラフを比較すると、形は同じでずらしただけなのがわかる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_013.jpg)
![sin π/6 = 1/2 を知っていると、丸いケーキを3等分する時に役立つ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_014-1.jpg)
![ケーキの上半分を考えると、π/6 =2/3π-π/2。Sinπ/6=1/2 だから、上半分の半分がケーキの外ふちになる所を探す。そこから、中心に向かって切れば、ケーキは3等分。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_015-1.jpg)
![y=tanθのグラフを書く。単位円の斜辺をx=1の所まで延ばすと交点のy座標はtanθになる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_016-1.jpg)
![θ=π/6、π/4、π/3でtanθの値を引き出してくると、y= tanθのグラフが書け始める。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_017-1.jpg)
![y=tanθのグラフを書く。θ=π/6、π/4、π/3の時のy=tanθを書く。その後、θ=9π/24、10π/24、11π/24の時のy=tanθも関数電卓で計算し、書いていく。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_018-1.jpg)
![θ=π/2、に近づいていくと、y=tanθはどんどん大きくなる。数値計算してみると、わかるように、いくらでも大きくなっていく。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_019-2.jpg)
![わる所のy座標はtanθ。y=tanθのように、途中で途切れて、反対側にでるのは反比例のy=1/xでもそう。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_020-3.jpg)
![斜辺がx=1と交わるところのy座標はtanθになる確認。途中で途切れて、反対側にでるのは反比例のy=1/xでもそう。横軸がある値に近づけば近づくほど、yの値が正の方に大きくなり、そこを超えると、いきなり負の側に現れるのは、y= -1/xに似ている。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_021-2.jpg)
![θがπ/2からπの範囲では、2/3πはy軸をはさみ、π/3の反対側にあるから、tan(2π/3)はx軸をはさみtan(π/3)の反対側になり、tan(2π/3)= -√3。同じように、tan(3π/4)=-1、tan(5π/6)=-√3](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_022-3.jpg)
![θがπから3π/2の範囲では、π+π/6=7π/6の斜辺を伸ばすと、π/6の斜辺と重なる。よって、tan(7π/6)=tan(π/6)。tan(π+π/4)=tan(π/4)、tan(π+π/3)=tan(π/3)でグラフをプロットできる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_023-1.jpg)
![θが3π/2から2πの範囲では、5/3πはx軸をはさみ、π/3の反対側にあるので、tan(2π/3)=-tan(π/3)=-√3になる。同様にtan(7π/4)=-tan(π/4)=-1、tan(11π/6)=-tan(π/6)=-1/√3](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_024-2.jpg)
![θが2πを超えると、2π+π/6の斜辺は、π/6の斜辺と一致するので、tan(2π+π/6)=tan(π/6)=1/√3、同様にtan(2π+π/4)=tan(π/4)=1、tan(2π+π/3)=tan(π/3)=√3となり、2度目の繰り返しが始まる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_025.jpg)
![θが負に行く。θ=0から-π/2の範囲では、-π/6はx軸をはさみ、π/6の反対側にあるので、tan(π/6)=-tan(π/6)=-1/√3になる。同様にtan(-π/4)=-tan(π/4)=-1、tan(-π/3)=-tan(π/3)=√3](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_026-3.jpg)
![θが-π/2を超えると、-2π/3の斜辺は、π/3の斜辺と一致するので、tan(-π/3)=tan(π/3)=√3、同様にtan(-π/4)=tan(π/4)=1、tan(-5π/6)=-tan(π/6)=1/√3となる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_027-3.jpg)
![こうして、y=sinθ、y=cosθ、y=tanθのグラフが書けた](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_028-1.jpg)
第4話 三角関数のグラフの性質
![三角関数。y=sinθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_001.jpg)
![三角関数。y=sinθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと、元の形と重なる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_002.jpg)
![三角関数。y=sinθのグラフのが原点Oに関して、点対称だと、P1(θ1 、sinθ1)とP2(-θ1、sin(-θ1))を結ぶ線は、原点Oを通り、OP1とOP2の長さが同じという事。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_003.jpg)
![三角関数。y=cosθのグラフはy軸に関して、左右対称。単位円で見てもcos(-θ)=cos(θ)。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_004.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_005.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_006.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと、元の形と重なる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_007.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフのが原点Oに関して、点対称だと、P1(θ1 、tanθ1)とP2(-θ1、tan(-θ1))を結ぶ線は、原点Oを通り、OP1とOP2の長さが同じという事。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_008.jpg)
![三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_009.jpg)
![三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(プラス側)。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_010.jpg)
![三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(マイナス側)。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_011.jpg)
![三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_012.jpg)
![三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(プラス側)。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_013.jpg)
![三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(マイナス側)。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_014.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_015.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_016.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_017.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_018.jpg)
![三角関数。y=sin(θ+π)のグラフは、y=sinθを左にπだけ動かしたもの。これは y= - sinθと一致する。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_019-1.jpg)
![三角関数。y=cos(θ+π)のグラフは、y=cosθを左にπだけ動かしたもの。これは y= - cosθと一致する。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_020.jpg)
![三角関数。単位円で見ると、y=sin(θ+π)=-sinθ、y=cos(θ+π)=-cosθがわかる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_021.jpg)
![三角関数。y=tan(θ+π)=tanθは、tanθ=sinθ/cosθからでもわかる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_022.jpg)
![三角関数。y=sin(θ+π/2)のグラフは、y=sinθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= cosθと一致する。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_023.jpg)
![三角関数。y=cos(θ+π/2)のグラフは、y=cosθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= - sinθと一致する。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_024.jpg)
![三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_025-2.jpg)
![三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。
y=tanθを元にy=-1/tanθを書く。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_026-1.jpg)
![三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。
y=tanθを元にy=-1/tanθを書く。
y=tanθとy=-1/tanθはπ/4で対称](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_027-1.jpg)
![三角関数。y=tanθのグラフと、y=1/tanθのグラフは、こんな感じ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_028-1.jpg)
![三角関数。y=-1/tanθのグラフは、y=1/tanθのグラフを上下逆さまにしたもの。そして、y=-1/tanθのグラフは、y=tanθのグラフをπ/2だけ左にずらしたもの。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_029-1.jpg)
![cos(θ+π/2)=-sinθ、sin(θ+π/2)=cosθ、を見てみる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_030-1.jpg)
![単位円で、tan(θ+π/2)=-1/tanθ、を見てみる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_031.jpg)
![sin(π/2-Φ)=cosΦ、cos(π/2-Φ)=sinΦをグラフで見てみる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_032-2.jpg)
![昔は関数電卓がないので、三角関数は数表で調べた。1度置きなら、90行必要だったが、cos(π/2-Φ)=sinΦを使えば90行は不要。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_033-2.jpg)
![cos(90度-Φ)=sinΦの実際の数字を見ても、45度より大きい角度のsinとかcosは、45度より小さい角度のcosとかsinで表せるとわかる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_034-2.jpg)
![三角関数は90行書かなくても良いのです。上下左右を使えば、45行書いておけばよいのです。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_035-2.jpg)
![江戸時代の測量の本についている三角関数表を見ます。角度は右は0度から45度、左側は90度から45度が書かrてます。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_036-2.jpg)
![余弦二度つまりcos2度、正弦八八度つまりsin88度はどちらも、0.99939です。
sin(π/2-Φ)=cosΦ、cos(π/2-Φ)=sinΦを使っていた人が江戸時代にはいたと言う事](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_037-2.jpg)
![y=2sinθはy=sinθを縦方向に2倍したもの。y=1/2sinθはy=sinθを縦方向に半分に縮めたもの。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_038-2.jpg)
![y=2cosθはy=cosθを縦方向に2倍したもの。y=1/2cosθはy=cosθを縦方向に半分に縮めたもの。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_039-2.jpg)
![y=sin2θのグラフはy=sinθを横方向に半分に縮めたもの。y=sinθでは、θが2πで一周するが、y=sin2θはθがπで1周するので。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_040-2.jpg)
![y=cos2θのグラフはy=cosθを横方向に半分に縮めたもの。y=cosθでは、θが2πで一周するが、y=cos2θはθがπで1周するので。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_041-2.jpg)
![y=a sin bx の応用例としては、家のコンセントに来ているAC100Vの電気がある。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_042.jpg)
![50Hzと言うのは、1周期T[s]=1[秒]÷50 = 20[ms]。時間T[s]で1周するというのは、y=sin 2π/T[s]×t[s]で表される。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_043.jpg)
![y=sin2π/T[s]×t[s]、東日本ではT[s] = 20[ms]、西日本ではT[s] = 16.7[ms]](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2020/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_044.jpg)
![](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_045.jpg)
![](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_046.jpg)
第5話 値を求める
![sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_001-2.jpg)
![sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_002-1.jpg)
![sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_003-1.jpg)
![sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_004-1.jpg)
!["tanθの辺りから、sinθ、cosθを求める。
計算で出すと、"](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_005-1.jpg)
!["tanθの辺りから、sinθ、cosθを求める。
グラフで見ると、"](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_006-1.jpg)
![sinθ+cosθの値を知っている時、sinθcosθや(sinθ)^3+(cosθ)^3の値を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_007.jpg)
![P(k)=0なら多項式P(x)=(x-k)×Q(x)と書ける](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_008.jpg)
![多項式の割り算をやってみる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/03/イメージでわかる冴子先生の高校数学_009.jpg)
![√2sinθ+1=0の時、θを求める。
0≦θ<2πの時](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_010-5.jpg)
![√2sinθ+1=0の時、θを求める。
θの範囲に制限がないとき](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_011-3.jpg)
![tanθ=√3の時、θを求める。
0≦θ<2πの時](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_012-1.jpg)
![tanθ=√3の時、θを求める。
θの範囲に制限がないとき](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_013.jpg)
![三角関数の方程式を解くには、まずθ=0、π/6、π/4、π/4、π/2 の sin、cos、tan を押さえる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_014.jpg)
![三角関数の方程式を解くには、まずθ=0、π/6、π/4、π/4、π/2 の sin、cos、tan を押さえる。そしたら0、-π/6、-π/4、-π/4、-π/2 もわかる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_015.jpg)
![三角関数の方程式を解くには、まずθ=0、π/6、π/4、π/4、π/2 の sin、cos、tan を押さえる。そしたら0、-π/6、-π/4、-π/4、-π/2 もわかる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_016.jpg)
![sinθはθ=0の右と左でsinθの正負が入れ替わったが、
cosθはθ=π/2の右と左でcosθの正負が入れ替わる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_017.jpg)
![sinθはθ=0の右と左でsinθの正負が入れ替わったが、
tanθはθ=π/2の右と左でtanθの正負が入れ替わる
結果、
cos(π-π/6)=-cosπ/6、cos(π-π/4)=-cosπ/4、cos(π-π/3)=-cosπ/3、
tan(π-π/6)=-tanπ/6、tan(π-π/4)=-tanπ/4、tan(π-π/3)=-tanπ/3、](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/07/イメージでわかる冴子先生の高校数学_018.jpg)
![y=sinθのグラフを上にΔyだけずらすと、式はy=sinθ+Δθ、
y=sinθのグラフを下にΔyだけずらすと、式はy=sinθ-Δθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_019.jpg)
![y=sinθを左にΔθだけ動かすと、式はy=sin(θ+Δθ)、
マイナス方向に動かす分、その分足しとくって感じ。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_020.jpg)
![y=sinθを右にΔθだけずらすと、式はy=sin(θ-Δθ)
プラス方向に動かす分、その分引いとくって感じ。
あるいは、y = x をマイナス方向に 1 動かすと、y = x+1、
プラス方向に 1 動かすと、y = x-1 という形でイメージつかめる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_021-1.jpg)
![y=sinθのグラフを左にπ/2ずらすと、y=cosθのグラフ。式で言うと、y=sin(θ+π/2)= cosθ。右にπ/2ずらすと、y=-cosθ。式で言うと、y=sin(θ-π/2)= -cosθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_022.jpg)
![y=cosθ のグラフを左にπ/2ずらすと、y = cos(θ+π/2) = - sinθ、
右にπ/2ずらすと、y = cos(θ-π/2) = sinθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_023.jpg)
![y=tanθのグラフを左にπ/2ずらすと、y = tan(θ+π/2) = - 1/tanθ、
右にπ/2ずらしても、y = tan(θ-π/2) = - 1/tanθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_024.jpg)
![y=sinθのグラフを左にπずらすと、y = sin(θ+π) = - sinθ、
右にπずらすと、y = sin(θ-π) = - sinθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_025.jpg)
![y=cosθのグラフを左にπずらすと、y = cos(θ+π) = - cosθ、
右にπずらしても、y = cos(θ-π) = - cosθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_026.jpg)
![y=tanθのグラフを左にπずらすと、y = tan(θ+π) = tanθ、
右にπずらしても、y = tan(θ-π) = - tanθ](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/08/イメージでわかる冴子先生の高校数学_027.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_028.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
まずは、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_029.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
まずは、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_030.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
まずは、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_031.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβから、
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_032.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβから、
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_033.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβから、
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβを導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_034.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
sin, cosの加法定理から、tanの加法定理を導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_035.jpg)
![数学漫画 三角関数 加法定理の証明
sin, cosの加法定理から、tanの加法定理を導く](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_036.jpg)
![加法定理から2倍角の公式を求める sin の場合、cos の場合](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_037.jpg)
![加法定理から2倍角の公式を求める cosの場合、tan の場合](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/09/イメージでわかる冴子先生の高校数学_038.jpg)
![半角の公式 (sin α/2)の2乗をcosαで表す。(cos α/2)の2乗をcosαで表す。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_039.jpg)
![半角公式。(tan α/2)の2乗をcosαで表す。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_040.jpg)
![加法定理を使って、π/6、π/4、π/3以外のsin、cos、tan を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_041.jpg)
![加法定理を使って、π/6、π/4、π/3以外のsin、cos、tan を求める。例えばπ/12の。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_042.jpg)
![加法定理を使って、sinπ/12,cosπ/12を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_043.jpg)
![sinπ/12=(√6-√2)/4、cosπ/12=(√6+√2)/4,2乗して足すと1になる。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/10/イメージでわかる冴子先生の高校数学_044.jpg)
![sin、cosの加法定理を使って、tan π/12 を求める。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_045.jpg)
![加法定理を使って、sin π/8 を求める。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_046-1.jpg)
![加法定理を使って、cos π/8 を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_047.jpg)
![加法定理を使って、tan π/8 を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_048.jpg)
![加法定理を使って、tan π/8 を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_049.jpg)
![sin 5/12π、cos 5/12π、を加法定理を用いて求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_050.jpg)
![tan 5/12π、を加法定理を用いて求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_051.jpg)
![tan α = 2 の時、tan 2α を求める。cos 2θ+sin θ = 1 を解く。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_052.jpg)
![2つの直線 y=2x と y=x/3 のなす角度を 加法定理を使って求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_053.jpg)
![2つの直線 y=2x と y=x/3 のなす角度を 加法定理を使って求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_054.jpg)
![2つの直線 y=2x と y=x/4 のなす角度を電卓を使って求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/11/イメージでわかる冴子先生の高校数学_055.jpg)
![三角関数の合成
sin θ - √3 cos θ = 2 sin (θ - π/3)](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_056.jpg)
![三角関数の合成
r sin(θ+α)= a sin θ + b cos θ で、
a、b から、r、α を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_057.jpg)
![三角関数の合成
r sin(θ+α)= a sin θ + b cos θ で、
a、b から、r、α を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_058.jpg)
![三角関数の合成
sin θ - √3 cos θ = 2 sin (θ - π/3)を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_059.jpg)
![三角関数の合成
sin θ + cos θ の最大値、最小値を求める](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2021/12/イメージでわかる冴子先生の高校数学_060.jpg)
第6話 応用編
![三角関数の応用](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_001.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_002.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_003.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。その証明。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_004.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。その証明。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_005.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。その証明。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_006.jpg)
![サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。その証明。](https://manabi100.com/wp-content/uploads/2022/01/イメージでわかる冴子先生の高校数学_007.jpg)