紹介

高校では数学でいろいろ勉強したと思います。私は、エンジニアだったので習った数学は仕事でバンバン使いましたが、多くの社会人は、あれっていったい何だったの?と思っていると思います。今、高校で勉強している人も、何に役立つの?と思っていると思います。その代表格にサイン、コサイン、タンジェントという三角関数があると思います。現に私の高校時代でも、サイン、コサイン、何になる、人生の本質に関係ないじゃない、と言う友達はいました。

私は通信系のエンジニアでしたので、三角関数は仕事に役立ちました。それを応用して世の中に役にたつ製品を出してきたと思います。またそれで生活をしてきました。

でも、高校時代、三角関数を習得するのには、苦労したことは確かです。

ここから始まる記事は、メーカに勤めた事があり、数学を実際に使ったことのある冴子先生が、三角関数をイメージ的にわかりやすく説明してくれます。これを機会に、皆さんには、三角関数をもっと身近に感じてもらったり、あるいは、非常に興味を持ち、エンジニアになり、実際に使ってもらえるようになれば幸いです。

第1話 サインとは

高校数学をイメージでわかるように説明した漫画 三角関数編の始まり
三角関数のグラフ、サインsin、コサインcos、タンジェントtan
音叉の音はサイン波
音叉の音はサイン波、オシロスコープで見れる、強く叩けば波形は大きくなる
音叉の音はサイン波、オシロスコープで見れる、周波数が高い音は波形の繰り返しが激しくなる
440Hzの音叉は1秒間に440個の繰り返し、だから1つの波にかかる時間は2.27ms
88鍵のピアノで言えば、440Hzは真ん中辺のラ、波形は音叉と違い、いろいろな波形の混ざっているもの、楽譜ではここ
4096Hzの音叉は1秒間に4096個の繰り返し、だから1つの波は0.244ms
88鍵のピアノで言えば、4096Hzに最も近いのは一番右端、楽譜で言うとこんな上
家庭のコンセントにはAC100Vと言う交流がきている
東日本は50Hzで1秒間に50回の繰り返し。
西日本は60Hzで1秒間に60回の繰り返し。
AC100 Vと言うが最大電圧は±140Vに達する。それは抵抗にDC100Vを流した時と消費電力が同じだから。
振り子を手を離した後の振る舞い
振り子の振る舞いをプロットしていくとサインカーブになる。
振り子の振る舞いをプロットしていくとサインカーブになる。ただし振れ幅が小さいときだけ。
サインのグラフの形は、洋服の型紙の袖の所に現れる。
型紙というのは、それに沿って布地を切って、縫い合わせると、立体的な服ができるもの。
袖は言わば円柱で、それが斜めに胴体の布地に縫い合わされるので、円柱を斜めに切った形になる。それを展開すると、切り口はサインのグラフになる。
世の中のいろいろな繰り返しの波形はサインの組み合わせになる
サイン、コサイン、タンジェントのグラフ
三角形でサイン、コサイン、タンジェントの定義を見てみる
三角形でtanθ=sinθ/cosθの証明、sin^2+cos^2=1
三平方の定理の証明
測量。遠くにあるAB間の距離を近くの測定値から計算で求まる
昔の測量のテキストで遠くにある甲乙間の距離を近くの測定値から計算で求める
昔の測量の本には三角関数の値の表がついている。タンジェントは正接。昔は切正と書いた。
昔の測量のテキスト、余接の値
昔の測量のテキスト、余接の値
昔の測量のテキスト、量地必携は嘉永三年の本でペリーが来る3年前、大政奉還の17年前

第2話 ラジアンとは

三角形での三角関数だと、角度は90度は超えないし、負の値も取れない。
半径rの円でsinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/xと定義して、三角形での三角関数の定義を脱出する
半径rの円でsinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/xと定義しすれば、sinθは正の値も負の値も取れて、グラフは波の形を表せる。
三角関数。ラジアンの定義。半径rの円で円弧の長さがちょうどrになるような角度が1ラジアン。度で言うと、約57.3度。
度とラジアンの換算。円一周の360度は2πラジアン。
360度は2πラジアンから、270度は3π/2ラジアン、180度はπラジアン、90度はπ/2ラジアン。
さらに良く使う角度として、180度はπラジアンだから、60度はπ/3ラジアン、45度はπ/4ラジアン、30度はπ/6ラジアン。
450度は5π/2ラジアン、540度は3πラジアン、630度は7π/2ラジアン、2周した720度は4πラジアン。
-90度は-π/2ラジアン、-180度は-πラジアン、-270度は-3π/2ラジアン、1周したところで-360度は-2πラジアン。
-30度は-π/6ラジアン、-45度は-π/4ラジアン、-60度は-π/3ラジアン。
角度が度表示のサインのグラフとラジアン表示のサインのグラフ。
関数電卓では、角度の単位は度とラジアンがある。
エクセルについている関数sinの単位はラジアン
"
角度θが小さいと、ラジアン表示の時、θの値とsinθの値はほぼ等しい。
グラフで書くと、θが0付近でy=sinθとy=θのグラフはほとんど一致。
角度θが小さい時、sinθとθがほぼ同じと言うのは、振り子の運動方程式を解くときに役立つ。それは角度がラジアン表示の時。
度表示だと、sinθとθの値は全然違う。
グラフ的に言うと微分は傾き、積分は面積。走っている車で言うと、速度を微分すると加速度、積分すると走ってきた距離
角度の単位がラジアンの時は、sinθを微分すると、cosθ、積分すると、-cosθ+C。すっきりした感じ。
角度の単位が度の時は、sinθを微分すると、(2π/360)cosθ、積分すると、-(360/2π)cosθ。ラジアンに比べややこしい形になる。
sinθを微分するとcosθになるイメージをつかむ。グラフで言うと、微分は傾き。y=sinθのグラフのてっぺんと一番下は傾きはゼロ
y=0付近では、y=sinθとy=θのグラフは重なる。だからy=sinθのθ=0での傾きはy=θの傾きと同じ、つまり1
y=sinθのグラフで、y=0の時の傾きは1。グラフは2π毎に繰り返しだから、θ=2πのところの傾きも1。
y=sinθのグラフは、θ=π/2や-π/2で対称だから、y=πや-πでの傾きは-1
y=sinθのグラフは、θ=-π、-π/2、0、π/2、π、3π/2、2πで、気傾きはそれぞれ-1、0、1、0、-1、0、1。
これをプロットすると、y=cosθのグラフと重なる。
そもそも360度というのは、バビロニア人が昔、1年を360日にしたから、という説がある。でも1年365日だし、ラジアンにも慣れよう。
例えば、宇宙船が円運動をする
ゲームをプログラムする言語にUnityというのがある。そこではサイン、コサインは、Mathf.Sin(θ)、Mathf.Cos(θ)。そして角度θの単位はラジアン。

第3話 サイン、コサイン、タンジェントのグラフ

半径r の円で、y=r sinθだったのを、半径r=1とすると、y=sinθ、つまり、斜辺の高さそのものがsinθの値になる。
半径1の円に角度0とπ/2を記す。その間を5等分する。一方、y=sinθを書きこむグラフの方もθ=0からπ/2までを5等分する。そして5等分した角度ごとに単位円の斜辺の高さをグラフの方に移して行くと、y=sinθのグラフができる。
半径1の円で、θ=0、π/6、π/4、π/3、π/2での斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。Π/2を超えた後も、π/6、π/4、π/3を足す。そこでの高さ、つまりsin θは、今まで見てきたπ/3、π/4、π/6と等しい
θ=0、π/6、π/4、π/3、π/2、2π/3、3π/4、5π/6、πの斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。そうするとθ=0からπまでのy=sinθのグラフになる
半径1の円で、θ=7π/6、5π/4、4π/3、3π/2での斜辺のy座標の値をグラフにプロットする。その後、θ=5π/3、7π/4、11π/6、2πをプロットするが、その高さは同じ。1周回って、2πを超えて、2π+π/6、2π+π/4、2π+π/3、2π+π/2、…で同様な事をして行く。
半径1の円で、θ=-π/6、-π/4、-π/3、-π/2、…,で、斜辺の高さ、つまりsinθをグラフにプロットする。
今までを合わせると、θが負から、2πを超えるまでのy=sinθのグラフが書ける。
sin(π/6)=1/2、
cos(π/6)=√3/2、tan(π/6)=1/√3 
になる理由
sin(π/4)=1/√2、
cos(π/4)=1/√2、
tan(π/4)=1
になる理由
sin(π/3)=√3/2、
cos(π/3)=1/2、
tan(π/3)=√3 
になる理由
半径1の円で、斜辺の高さをグラフにプロットするとy=sinθのグラフができた。斜辺の底辺をプロットしていくと、y=cosθのグラフになる。
半径1の円で、θ=0~2πまでの斜辺の底辺、つまりcosθをグラフにプロットする。
半径1の円で、θ=2πを超えて斜辺の底辺、つまりcosθをグラフにプロットする。θが負でも同じことをする。
y=cosθのグラフとy=sinθのグラフを比較すると、形は同じでずらしただけなのがわかる。
sin π/6 = 1/2 を知っていると、丸いケーキを3等分する時に役立つ。
ケーキの上半分を考えると、π/6 =2/3π-π/2。Sinπ/6=1/2 だから、上半分の半分がケーキの外ふちになる所を探す。そこから、中心に向かって切れば、ケーキは3等分。
y=tanθのグラフを書く。単位円の斜辺をx=1の所まで延ばすと交点のy座標はtanθになる。
θ=π/6、π/4、π/3でtanθの値を引き出してくると、y= tanθのグラフが書け始める。
y=tanθのグラフを書く。θ=π/6、π/4、π/3の時のy=tanθを書く。その後、θ=9π/24、10π/24、11π/24の時のy=tanθも関数電卓で計算し、書いていく。
θ=π/2、に近づいていくと、y=tanθはどんどん大きくなる。数値計算してみると、わかるように、いくらでも大きくなっていく。
わる所のy座標はtanθ。y=tanθのように、途中で途切れて、反対側にでるのは反比例のy=1/xでもそう。
斜辺がx=1と交わるところのy座標はtanθになる確認。途中で途切れて、反対側にでるのは反比例のy=1/xでもそう。横軸がある値に近づけば近づくほど、yの値が正の方に大きくなり、そこを超えると、いきなり負の側に現れるのは、y= -1/xに似ている。
θがπ/2からπの範囲では、2/3πはy軸をはさみ、π/3の反対側にあるから、tan(2π/3)はx軸をはさみtan(π/3)の反対側になり、tan(2π/3)= -√3。同じように、tan(3π/4)=-1、tan(5π/6)=-√3
θがπから3π/2の範囲では、π+π/6=7π/6の斜辺を伸ばすと、π/6の斜辺と重なる。よって、tan(7π/6)=tan(π/6)。tan(π+π/4)=tan(π/4)、tan(π+π/3)=tan(π/3)でグラフをプロットできる。

θが3π/2から2πの範囲では、5/3πはx軸をはさみ、π/3の反対側にあるので、tan(2π/3)=-tan(π/3)=-√3になる。同様にtan(7π/4)=-tan(π/4)=-1、tan(11π/6)=-tan(π/6)=-1/√3
θが2πを超えると、2π+π/6の斜辺は、π/6の斜辺と一致するので、tan(2π+π/6)=tan(π/6)=1/√3、同様にtan(2π+π/4)=tan(π/4)=1、tan(2π+π/3)=tan(π/3)=√3となり、2度目の繰り返しが始まる。
θが負に行く。θ=0から-π/2の範囲では、-π/6はx軸をはさみ、π/6の反対側にあるので、tan(π/6)=-tan(π/6)=-1/√3になる。同様にtan(-π/4)=-tan(π/4)=-1、tan(-π/3)=-tan(π/3)=√3
θが-π/2を超えると、-2π/3の斜辺は、π/3の斜辺と一致するので、tan(-π/3)=tan(π/3)=√3、同様にtan(-π/4)=tan(π/4)=1、tan(-5π/6)=-tan(π/6)=1/√3となる。
こうして、y=sinθ、y=cosθ、y=tanθのグラフが書けた

第4話 三角関数のグラフの性質

三角関数。y=sinθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・
三角関数。y=sinθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと、元の形と重なる。
三角関数。y=sinθのグラフのが原点Oに関して、点対称だと、P1(θ1 、sinθ1)とP2(-θ1、sin(-θ1))を結ぶ線は、原点Oを通り、OP1とOP2の長さが同じという事。
三角関数。y=cosθのグラフはy軸に関して、左右対称。単位円で見てもcos(-θ)=cos(θ)。
三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・
三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと・・・
三角関数。y=tanθのグラフの性質。原点Oに関して、点対称だから、こうやって回していくと、元の形と重なる。
三角関数。y=tanθのグラフのが原点Oに関して、点対称だと、P1(θ1 、tanθ1)とP2(-θ1、tan(-θ1))を結ぶ線は、原点Oを通り、OP1とOP2の長さが同じという事。
三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。
三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(プラス側)。
三角関数。y=sinθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(マイナス側)。
三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。
三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(プラス側)。
三角関数。y=cosθのグラフの性質。2π毎に繰り返す。単位円で見るとよく分かる(マイナス側)。
三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。
三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る
三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る
三角関数。y=tanθのグラフの性質。π毎に繰り返す。単位円で見る
三角関数。y=sin(θ+π)のグラフは、y=sinθを左にπだけ動かしたもの。これは y= - sinθと一致する。
三角関数。y=cos(θ+π)のグラフは、y=cosθを左にπだけ動かしたもの。これは y= - cosθと一致する。
三角関数。単位円で見ると、y=sin(θ+π)=-sinθ、y=cos(θ+π)=-cosθがわかる。
三角関数。y=tan(θ+π)=tanθは、tanθ=sinθ/cosθからでもわかる。
三角関数。y=sin(θ+π/2)のグラフは、y=sinθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= cosθと一致する。
三角関数。y=cos(θ+π/2)のグラフは、y=cosθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= - sinθと一致する。
三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。
三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。
y=tanθを元にy=-1/tanθを書く。
三角関数。y=tan(θ+π/2)のグラフは、y=tanθを左にπ/2だけ動かしたもの。これは y= -1/tanθと一致する。
y=tanθを元にy=-1/tanθを書く。
y=tanθとy=-1/tanθはπ/4で対称
三角関数。y=tanθのグラフと、y=1/tanθのグラフは、こんな感じ。
三角関数。y=-1/tanθのグラフは、y=1/tanθのグラフを上下逆さまにしたもの。そして、y=-1/tanθのグラフは、y=tanθのグラフをπ/2だけ左にずらしたもの。
cos(θ+π/2)=-sinθ、sin(θ+π/2)=cosθ、を見てみる。
単位円で、tan(θ+π/2)=-1/tanθ、を見てみる
sin(π/2-Φ)=cosΦ、cos(π/2-Φ)=sinΦをグラフで見てみる。
昔は関数電卓がないので、三角関数は数表で調べた。1度置きなら、90行必要だったが、cos(π/2-Φ)=sinΦを使えば90行は不要。
cos(90度-Φ)=sinΦの実際の数字を見ても、45度より大きい角度のsinとかcosは、45度より小さい角度のcosとかsinで表せるとわかる
三角関数は90行書かなくても良いのです。上下左右を使えば、45行書いておけばよいのです。
江戸時代の測量の本についている三角関数表を見ます。角度は右は0度から45度、左側は90度から45度が書かrてます。
余弦二度つまりcos2度、正弦八八度つまりsin88度はどちらも、0.99939です。
sin(π/2-Φ)=cosΦ、cos(π/2-Φ)=sinΦを使っていた人が江戸時代にはいたと言う事
y=2sinθはy=sinθを縦方向に2倍したもの。y=1/2sinθはy=sinθを縦方向に半分に縮めたもの。
y=2cosθはy=cosθを縦方向に2倍したもの。y=1/2cosθはy=cosθを縦方向に半分に縮めたもの。
y=sin2θのグラフはy=sinθを横方向に半分に縮めたもの。y=sinθでは、θが2πで一周するが、y=sin2θはθがπで1周するので。
y=cos2θのグラフはy=cosθを横方向に半分に縮めたもの。y=cosθでは、θが2πで一周するが、y=cos2θはθがπで1周するので。
y=a sin bx の応用例としては、家のコンセントに来ているAC100Vの電気がある。
50Hzと言うのは、1周期T[s]=1[秒]÷50 = 20[ms]。時間T[s]で1周するというのは、y=sin 2π/T[s]×t[s]で表される。
y=sin2π/T[s]×t[s]、東日本ではT[s] = 20[ms]、西日本ではT[s] = 16.7[ms]

第5話 値を求める

sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める
sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める
sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める
sinθの値がわかる時、cosθやtanθを求める
"tanθの辺りから、sinθ、cosθを求める。
計算で出すと、"
"tanθの辺りから、sinθ、cosθを求める。
グラフで見ると、"
sinθ+cosθの値を知っている時、sinθcosθや(sinθ)^3+(cosθ)^3の値を求める
P(k)=0なら多項式P(x)=(x-k)×Q(x)と書ける
多項式の割り算をやってみる